Примеры геометрической вероятности (2)(Параграф 1.6)

.	Примеры геометрической вероятности (2)(Параграф 1.6)

Пример 1. На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 5 и 10 см соответственно. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет в кольцо, образованное построенными окружностями. Предполагается, что вероятность попадания точки в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры и не зависит от ее расположения относительно большого круга.

Р е ш е н и е. Площадь кольца (фигуры g)

S_g = p (10² — 5²) = 75p.

Площадь большого круга (фигуры G)

S_G = p10² = 100p.

Искомая вероятность

Р = 75p / (100p) = 0,75.

Пример 2. В сигнализатор поступают сигналы от двух устройств, причем поступление каждого из сигналов равновозможно в любой момент промежутка времени длительностью Т. Моменты поступления сигналов независимы один от другого.Сигнализатор срабатывает, если разность между моментами поступления сигналов меньше t (t < T). Найти вероятность того, что сигнализатор сработает за время T, если каждое из устройств пошлет по одному сигналу.

Р е ш е н и е. Обозначим моменты поступления сигналов первого и второго устройств соответственно через х и у. В силу условия задачи должны выполняться двойные неравенства: 0 <= x <= Т, 0 <= y <= Т. Введем в рассмотрение прямоугольную систему координат хОу. В этой системе двойным неравенствам удовлетворяют координаты любой точки квадрата ОТ AT. Таким образом, этот квадрат можно рассматривать как фигуру G, координаты точек которой представляют все возможные значения моментов поступления сигналов.

Сигнализатор срабатывает, если разность между моментами поступления сигналов меньше t, т. е. если
у — х < t при у > х и х — у < t при х > у, или, что то же,

y < x + t при у > х, (*)
y > х - t при y < х. (**)

Неравенство (*) выполняется для тех точек фигуры G, которые лежат выше прямой у = х и ниже прямой y = x + t, неравенство (**) имеет место для точек, расположенных ниже прямой у = х и выше прямой у = х - t.

Все точки, координаты которых удовлетворяют неравенствам (*) и (**), принадлежат заштрихованному шестиугольнику. Таким образом, этот шестиугольник можно рассматривать как фигуру g, координаты точек которой являются благоприятствующими моментами времени х и у. Искомая вероятность

Р = Пл.g / Пл.G = (Т² — (Т — t)²) / T² = (t (2T — t)) / T².