Примеры теоремы умножения для независимых событий (Параграф 3.3)

.	Примеры теоремы умножения для независимых событий (Параграф 3.3)

Пример 1. Найти вероятность совместного появления герба при одном бросании двух монет.

Р е ш е н и е. Вероятность появления герба первой монеты (событие А)

Р (А) = 1 / 2.

Вероятность появления герба второй монеты (событие В)

Р (В) = 1 / 2.

События А и В независимые, поэтому искомая вероятность по теореме умножения равна

Р (АВ) = Р (А) Р (В) = 1 / 2 * 1 / 2 = 1 / 4.

Пример 2. Имеется 3 ящика, содержащих по 10 деталей. В первом ящике 8, во втором 7 и в третьем 9 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что все три вынутые детали окажутся стандартными.

Р е ш е н и е. Вероятность того, что из первого ящика вынута стандартная деталь (событие А),

P (A) = 8 / 10 = 0,8.

Вероятность того, что из второго ящика вынута стандартная деталь (событие В),

Р (В) = 7 / 10 = 0,7.

Вероятность того, что из третьего ящика вынута стандартная деталь (событие С),

Р (С) = 9 / 10 = 0,9.

Так как события А, В и С независимые в совокупности, то искомая вероятность (по теореме умножения) равна

Р (АВС) = Р (А) Р (В) Р (С) = 0,8 * 0,7 * 0,9 = 0,504.

Приведем пример совместного применения теорем сложения и умножения.

Пример 3. Вероятности появления каждого из трех независимых событий A₁, A₂, A₃ соответственно равны p₁, р₂, р₃. Найти вероятность появления только одного из этих событий.

Р е ш е н и е. Заметим, что, например, появление только первого события A₁ равносильно появлению события

(появилось первое и не появились второе и третье события). Введем обозначения:

B₁ — появилось только событие A₁, т. е.

В₂ — появилось только событие A₂, т. е.

B₃ — появилось только событие A₃, т. е.

Таким образом, чтобы найти вероятность появления только одного из событий A₁, A₂, А₃, будем искать вероятность Р (B₁ + B₂ + B₃) появления одного, безразлично какого из событий B₁, B₂, B₃.

Так как события B₁, B₂, B₃ несовместны, то применима теорема сложения

Р (B₁ + B₂ + B₃) = P (B₁) + P (B₂) + P (B₃). (*)

Остается найти вероятности каждого из событий B₁, B₂, B₃.

События A₁, A₂, A₃ независимы, следовательно, независимы события

поэтому к ним применима теорема умножения

Аналогично,

Подставив эти вероятности в (*), найдем искомую вероятность появления только одного из событий A₁А₂A₃: